Если в логотипе и на вывеске используются два слова «Клиника» и «Николаевская», то при написании следует придерживаться этого же формата: Клиника Николаевская. Это необходимо для сохранения единства и узнаваемости бренда. 

Возможен такой вариант: Клиника принимает пациентов – домашних любимцев – в любое время суток.

Кавычуки нужны при наличии родового слова. Например: ГБУЗ "Клиника Николаевская". 

Это лексически избыточное, но употребляемое сочетание.

Клиника может быть международной (в том смысле, что она основана гражданами разных государств или в ней работают такие граждане). А вот содержание сочетания "эстетические инновации" кажется нам более туманным.

Действительно, есть нестыковка в определениях. Хотя в хосписе могут исследоваться методы медико-социальной и психологической помощи.