Верно: дела не клеятся.
Летняя - относительное прилагательное. Ср.: не деревянный, не железный; но некачественный, невозможный.
Корректно: на лестничную клетку (здесь клетка - это площадка, ср.: на площадку).
Слова зимний и летний в названиях Олимпийских игр пишутся строчными. Цифры лучше оставить римские. Корректно: XXXI летняя Олимпиада.
Правильно: ежегоднАЯ.
Правильно: 22 оленя.
Кавычки не нужны. Хотя метафора, на наш взгляд, не самая удачная.