Да, мужская фамилия Олейник склоняется: Олейника, Олейнику и т. д.
Верно: ... - одна из лучших клиник.
Корректные формы родительного падежа фамилий: Алексия, Ткачука, Леончика, Капачени.
Правильно: двухуровневая.
Слово артишок склоняется без выпадения гласной О, а слово петушок - с выпадением гласной. Это связано с тем, что артишок является заимствованным словом, а в слове петушок суффикс ОК имеет древнерусский "аналог" - суффикс ЪК.
Эти фамилии склоняются, если принадлежат мужчинам, и не склоняются, если принадлежат женщинам.
Клиника может быть международной (в том смысле, что она основана гражданами разных государств или в ней работают такие граждане). А вот содержание сочетания "эстетические инновации" кажется нам более туманным.
Именно так. Склоняется мужская фамилия, не склоняется женская.
См. также: