Корректно: 18:00 – квест по библиотеке.
Нормативных указаний нет. Возможно мягкое произношение: [в'е].
Верно дефисное написание.
Комната (для) квестов - квест-комната.
Корректно: реалити-квест.
Ударение не переходит на окончание: квЕсты, квЕстов.