Кассирша – разговорное слово, его употребление допустимо лишь в устной речи. Стилистически нейтрально: кассир (о женщине тоже).
Слово пассия женского рода, поэтому верно: Александр — моя пассия.
Здесь можно говорить о возможности слитного и раздельного написания. Мы бы предпочли писать раздельно, т. к. здесь возможна подстановка слов, усиливающих отрицание (вовсе не обязательно). Тире между подлежащим и сказуемым, которые выражены существительными, не ставится, если между ними стоит обстоятельство или дополнение: Хороший писатель не обязательно классик.
Это не однокоренные, а родственные слова.
Слово кассирша уместно только в разговорной речи. Стилистически нейтральный вариант: кассир.
Вот какие слова есть в словарях:
классик, -а
классика, -и
классики, -ов (игра)