Вполне корректно: награждается квартет.
Правильно: Квартет по ближневосточному урегулированию («Ближневосточный квартет»).
Второе слово в названии пишется с маленькой буквы, если оно не является именем собственным: "Тихая пристань", "Ночная фиалка", МФК "Город столиц", ЖК "Воробьевы горы".