Правильно строчными: кемский городничий.
Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню").
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Употребление этих слов аналогично употреблению слов финский и финляндский, см. ответ № 237226.
Вместо двоеточия следует поставить тире, других знаков препинания не требуется.
Верно: казахский музей-юрта (по аналогии с музей-квартира).
Никаких специальных правил склонения существительных – названий валют не существует. Они так же распределяются по типам склонения, как и остальные существительные, например: рупия – 1-е (по школьной грамматике) склонение, доллар – 2-е склонение, евро – нулевое склонение. Слово бат склоняется по 2-му склонению, как, например, слово доллар: бат, бата, бату и т. д.; во множественном числе: баты, батов, батам и т. д.