Запятая нужна.
Картофель – стилистически нейтральное слово, картошка – разговорное. В СМИ поэтому лучше употреблять слово картофель.
Да, эти слова можно назвать однокорневыми синонимами.
Правильно написание без запятой.
Написание полугнилая картошка правильно.
Зависит от контекста, но, если эта визитная карточка принадлежит руководителю, предлог не нужен.
Словарями фиксируется вариант тархунный.
Правильно: Что подгорело?