Запятая не нужна.
Картофель – стилистически нейтральное слово, картошка – разговорное. В СМИ поэтому лучше употреблять слово картофель.
Пусть картина повисит (побудет) здесь.
Да, эти слова можно назвать однокорневыми синонимами.
Написание полугнилая картошка правильно.
Корень картош-...
Все эти варианты возможны.