Выражение второй хлеб (о картофеле) не заключается в кавычки.
Картофель - от немецкого Kartoffel, в свою очередь произошло от итал. tartufo, tartufolo — трюфель).
Верно: картофель фри.
Правильно: рис «Жасмин», соус «Нью-Йорк», картофель «Айдахо». Однако для последнего наименования очевидна тенденция к переходу имени собственного в нарицательное (по аналогии с картофель фри), поэтому вариант картофель айдахо нельзя считать неверным.
Да, эти слова можно назвать однокорневыми синонимами.
Написание зависит от смысла: картофель жареный с вешенками = жареный картофель с вешенками (жареный картофель плюс вешенки); картофель, жаренный с вешенками = картофель, который жарили с вешенками.