Выражение второй хлеб (о картофеле) не заключается в кавычки.
Картофель - от немецкого Kartoffel, в свою очередь произошло от итал. tartufo, tartufolo — трюфель).
Верно: картофель фри.
Написание зависит от смысла: картофель жареный с вешенками = жареный картофель с вешенками (жареный картофель плюс вешенки); картофель, жаренный с вешенками = картофель, который жарили с вешенками.
Да, эти слова можно назвать однокорневыми синонимами.
Верно в зависимости от смысла: картофель, печенный с грибами и луком (= картофель, который пекли с грибами и луком); картофель печеный с грибами и луком (= печеный картофель + грибы и лук).
Допустимо: картофель жареный с грибами (сначала пожарили картошку, потом добавили грибы); картофель, жаренный с грибами (жарили вместе с грибами).