Нужно согласовать в падеже: в Республике Карелии.
Скидки по картам - корректно. Возможно: распродажа для держателей карт.
Да, можно. Употребление капли капали... встречается у Толстого и Пришвина. Если нужно избежать повтора, можно написать: С крыши капало.
Возможны варианты: карелов и карел.
Корректно: рассчитаться с помощью карты, рассчитаться картой (ср.: рассчитаться наличными).
Карту со встроенным чипом обычно называют смарт-картой.
Верно: код банковской карты. Предлог может использоваться при определенном строе предложения.
О конкуренции этих вариантов и о причинах распространенности конструкции с предлогом по можно прочитать в статье «Ошибочные употребления предлогов могут стать частью нормы», опубликованной на нашем портале.
Возможно употребление этого сочетания без кавычек.