Корректно: рассчитаться с помощью карты, рассчитаться картой (ср.: рассчитаться наличными).
Корректно: начислить процент на остаток на карте.
Скидки по картам - корректно. Возможно: распродажа для держателей карт.
Верно: код банковской карты. Предлог может использоваться при определенном строе предложения.
Да, это условное название, кавычки нужны: карта «Тройка», записать билет на «Тройку».
О конкуренции этих вариантов и о причинах распространенности конструкции с предлогом по можно прочитать в статье «Ошибочные употребления предлогов могут стать частью нормы», опубликованной на нашем портале.