Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Устойчивого употребления нет. Допустимо: пою под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Будет корректным во всех случаях считать это слово существительным.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Корректно: караоке-зал.
Мужская фамилия Каракуц склоняется, женская — нет.
Караоке – несклоняемое существительное среднего рода.
Оба варианта корректны.