Следует писать с большой буквы: Анапский район.

Правильно строчными: кемский городничий.

Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню"). 

Да, Вы правы. Кавычки уместны.

Это разные слова. Кипрский – прилагательное от Кипр (например: кипрская столица). Киприотский – относящийся к киприотам (жителям Кипра), принадлежащий, свойственный им (например: киприотские песни).

Вместо двоеточия следует поставить тире, других знаков препинания не требуется.

Никаких специальных правил склонения существительных – названий валют не существует. Они так же распределяются по типам склонения, как и остальные существительные, например: рупия – 1-е (по школьной грамматике) склонение, доллар – 2-е склонение, евро – нулевое склонение. Слово бат склоняется по 2-му склонению, как, например, слово доллар: бат, бата, бату и т. д.; во множественном числе: баты, батов, батам  и т. д.

Согласно «Общероссийскому классификатору стран мира» официальное название: Папский Престол (Государство-город Ватикан). В обиходной устной и письменной речи, при неофициальном употреблении обычно используется только слово Ватикан.