Нужно согласовать в падеже: в Республике Карелии.
В значении 'камин, очаг' правильно: камелёк. Слово комелёк используется только как уменьшительное к комель (часть дерева). По словарю Даля, составленному в позапрошлом веке, нельзя проверять орфографию современного русского языка.
Оба варианта правильны: удариться о металлические качели и удариться об металлические качели.
Это равноправные варианты.
Лучше не склонять.
Словари фиксируют написание этих слов без кавычек: вольный каменщик, вольные каменщики.
Склонение мужской фамилии Каменёк обязательно. Предпочтительно склонение без выпадения гласного (Каменёку Константину), но допустим и вариант с выпадением гласного (Каменьку Константину). Какой из этих двух способов склонения фамилии выбрать, решает ее носитель.