Правильно: пишем (первое спряжение).
Правильно в дательном падеже: Илии (с ударным и). См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. 5-е изд., испр. М., 2008.
Жалюзи – несклоняемое существительное. У таких слов род выражается синтаксически – формами согласуемого слова. Со словом жалюзи возможно согласование по среднему роду и (чаще) по множественному числу: желтое жалюзи и желтые жалюзи.
Здесь нет ничего необычного. В формах прошедшего времени в основе глагола используется та же гласная, что и в инфинитиве: кише-ть - кише-л. Гласная "И" в личных формах (кишит, кишим...) обусловлена спряжением (второе спряжение).
Буквенные аббревиатуры инициального типа в первой стадии своего образования имеют род стержневого слова: ИГИЛ стало (средний род по опорному слову государство); корректно согласование и в женском роде, если родовым словом считать слово организация: ИГИЛ (террористическая организация) запрещена в России.
Но и мужской род совсем исключать нельзя. Ведь чем чаще употребляется аббревиатура, чем более привычной она становится, тем больше вероятность, что она оторвется от соответствующего полного наименования и приобретет свойства обычного слова с иной родовой характеристикой. Так произошло, например, с аббревиатурами МИД, ЗАГС, которые приобрели форму мужского рода, хотя опорные слова принадлежат к другому роду (министерство, запись). Поэтому согласование с ИГИЛ определений и сказуемых в мужском роде тем вероятнее, чем чаще и дольше будет употребляться это сочетание.
