Здесь верно: ему грозит...
Вы можете выбрать любой вариант. Дело в том, что оба слова относятся к индивидуальной, авторской речи и не подлежат нормативной словарной фиксации. Поэтому "правильным" тот или иной вариант слова назвать трудно.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Корректно: школа города Шатуры.
Это выражение корректно и зафиксировано в словарях. Слово носить здесь используется в значении "характеризоваться чем-либо, свидетельствовать о чём-либо".
Да, склоняется. Склонение фамилий, оканчивающихся на гласные, не зависит от пола носителя фамилии.