Правильно без кавычек: агентство Рейтер.
Правильно: рэпер.
Верное написание: мисс Геймер, вице-мисс Геймер.
Мужские фамилии склоняются, соотносительные женские – нет.
После Линды Сегер следует поставить тире.
Можно сослаться на адресованный в первую очередь работникам СМИ «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010; электронная версия – на нашем портале), в котором зафиксировано: Рейтер.