Правильно без кавычек: агентство Рейтер.
Правильно: рэпер.
Верное написание: мисс Геймер, вице-мисс Геймер.
Мужские фамилии склоняются, соотносительные женские – нет.
В академическом орфографическом словаре современного русского языка зафиксировано только слово сейлер.
После Линды Сегер следует поставить тире.