Правильно: в городе Шахты, в городе Зверево. Географические названия в сочетании с родовым словом не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме мн. числа. Топонимы славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом.
В нормативных словарях современного русского языка этот термин пока что не зафиксирован. Но если прнимать во внимание его английское проихождение, то логично произношение пли́зерство.