Оба варианта правильны.

Оба варианта корректны, различаются оттенками значения: Не надо задавать вопросы (конкретные), Не надо задавать вопросов (вообще никаких).

Предпочтительно: не задавать вопросов.

Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...

Такого фразеологизма в русском литературном языке нет.

«Правильного» и «неправильного» употребления предлога в таких сочетаниях сейчас нет: предлоги конкурируют, норма формируется на наших глазах, кодификация в словарях отсутствует. Вариант с предлогом на поддерживается конструкциями на сайте, на (интернет-)площадке, выбор предлога в может подкрепляться конструкцией в (интернет-)магазине.

Можно рекомендовать для нейтрального употребления вариант в интернет-магазине Ozon. При передаче на письме обиходного разговорного употребления: на Озоне.

Может быть, попросить о чем-либо в качестве подарка?

В разговорной речи такое употребление возможно. Но стилистически нейтрально: У тебя же завтра выходной?