Можно. Но лучше: написанная от руки записка.
Правильно: заверка документов. А заверение – это обнадеживающее заявление, уверение в чем-либо.
Стилистически нейтрально: резинка для стирания, стирательная резинка. Разговорные названия – ластик, стёрка. Эти слова также приводят как пример различий в речи москвичей и петербуржцев. Москвичи говорят ластик, петербуржцы – стёрка.