Кавычки факультативны.
Поскольку нет никаких сомнений в том, что выражение забить шайбу существует (см. ответ на вопрос № 319678), то вопрос о корректности — это вопрос не о том, возможно ли выражение, а о том, в каких текстах оно уместно. Если оборот забросить шайбу стилистически нейтральный, то изначальная принадлежность разговорной речи предполагает обязательную «примерку» выражения забить шайбу — оценку его допустимости для конкретного речевого случая.
Забить гол - грамотно.
Вполне соответствует.
Выражения забить шайбу и забить козла «родом» из разговорной речи и известны начиная с 60-е годов ХХ века.