Правильно: вопреки (чему?) мнению.
Пробел нужен, однако он может отсутствовать по техническим причинам: если нет возможности поставить неразрывный пробел, чтобы части сокращения не оказались на двух разных строчках.
Правильно: глава администрации Вологодской области.
Правильно со строчной буквы.
Правильно: администрация губернатора. Прописная буква уместна, если речь идет об Администрации Президента.
Предпочтителен первый вариант.