Можно сказать: внести в зал - вынести из зала; но: вынести вперед.
Правильно: зал Чайковского, в зале Чайковского.
Зала в женском роде – устаревшее употребление. В современном русском литературном языке правильно: зал.
Правильно: в зале, оказавшемся заполненным (ср.: залом, оказавшимся заполненным).
После слова "зал" запятая не нужна.
Нет, верно: зал для аэробики, для занятий аэробикой.
Корректное название должностей: заведующий отделом обслуживания, заведующий читальным залом. Соответственно в контексте: принята на должность заведующего отделом обслуживания; принята на должность заведующего читальным залом.
Пишется со строчной: в концертном зале "Россия".