Залезать – стилистически нейтральный вариант, залазить – просторечный.
Верно: залезать. Вариант залазить просторечный.
В значении "останавливать свое внимание на чем-либо" - залипать на чем-либо. Отметим, что такое употребление не является литературным (нормативным).
Верно слитное написание.
В русском литературном языке видовая пара несовершенного вида к глаголу залезть — залезать.
Оба сочетания правильны. Правда, некоторые словари указывают, что глагол замещать в значении 'занимать свободное место, должность и т. п.' является устаревающим.