Полагаем, правильнее считать эти слова родственными, но не однокоренными (как у Тихонова).
Такая форма неупотребительна.
Оба варианта правильны.
Корректно: закупать хека.
Деепричастный оборот может употребляться в безличном предложении при инфинитиве. В приведенном примере ошибки нет.
Оба варианта корректны, различаются оттенками значения: Не надо задавать вопросы (конкретные), Не надо задавать вопросов (вообще никаких).
Предпочтительно: не задавать вопросов.
Ударение проверяется в словарном порядке: баловать, балую, балует.
Баловал, баловали, баловала, баловало.