Актуальные орфографические нормы отражаются в новейшем издании академического «Русского орфографического словаря» (на данный момент это 6-е издание, вышедшее в 2023 году) и в орфографическом академическом ресурсе «Академос». Словарем можно уверенно пользоваться на нашем портале, для этого наберите искомое слово в поисковой строке, выберите «Русский орфографический словарь» во всплывающем меню слева от поисковой строки и кликните справа от строки кнопку «Найти».

Об орфографической истории слова можно прочитать в комментарии к правилу о корне -зар-/-зор- в «Правилах русской орфографии и пунктуации» 1956 года (нужно навести курсор на звездочку в конце первого пункта параграфа 13). 

Да, грамотно.

Правильно: нельзя забывать свое прошлое.

Тире не требуется.

Залезать – стилистически нейтральный вариант, залазить – просторечный.

По основному правилу тире не нужно. Возможна только постановка авторского, интонационного тире.

Стилистически нейтрально: о витаминах. Вариант про витамины разговорный.