С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: приток Зигана, но приток реки Зиган.

Оба варианта верны.

Странное выражение. Имеется в виду некий орган, управляющий культурой? Поясните, пожалуйста.

Корректно: регулирующий орган (регулятор).

Если слово веган в предложении выступает как обращение, то правилен первый вариант (например: Мы пойдем в ресторан. А ты, веган?). Если веган — сказуемое (то есть вопрос задается, чтобы узнать, называет ли человек себя веганом), то правилен второй вариант.

Мужская фамилия склоняется, женская – нет.

Да, мастер цигуна - возможно.

С лексической и грамматической точки зрения — допустимы оба сочетания. Содержательные же отличия двух речевых оборотов лучше всего обсуждать со специалистами, например с психологами.

Следует писать строчными буквами.