Вы можете выбрать любой вариант. Дело в том, что оба слова относятся к индивидуальной, авторской речи и не подлежат нормативной словарной фиксации. Поэтому "правильным" тот или иной вариант слова назвать трудно.
Да, это корректное сочетание.
Правильно: влезать. Влазить – просторечие.
Такое слово есть, оно зафиксировано в словарях.