Правильно: в Елизове.
В Елизове, из Елизова, горжусь Елизовом и т.д.
Правильно: в городе Елизово. Если слова город нет, возможны два варианта: в Елизове (предпочтительно) и в Елизово (допустимо).
О склонении географических названий см. в Письмовнике.