Верно: ежиный нос и нос ежа.
Если есть желание подчеркнуть иностранное происхождение имени (клички), то правильно будет сохранять в корне ё или даже писать его через йо: (без) Ёжа или Йожа, (к) Ёжу или Йожу, (с) Ёжем или Йожем, (о) Ёже или Йоже. Если есть намерение русифицировать имя, то склонять его можно так же, как слово ёж.