Правильно: все в грязи, «жигули» остановились.
Правильно: извозиться в грязи.
В случае если необходимо написать именно указанное просторечное слово, то верно: извозюкаться. Проверочное слово, например, (он) возится.
Правильно: по грЯзи.
Воспользуйтесь электронными словарями, размещенными на нашем портале. Задайте в поисковой строке слово в начальной форме.
Запятая не нужна.
Оба варианта корректны.