Корректны варианты прыгать через скакалку и прыгать со скакалкой.
Оба варианта возможны, есть разница в значении: употребление предлога на подчеркивает, что речь идет о поверхности. Ср.: лечь в кровать и уснуть – лечь на кровать в одежде.
Теоретически да – если положить парашют на пол :) О прыжке с самолета – прыгать с парашютом.
Раздельное написание корректно.
"Справка" не выполняет домашних заданий.
Слова "в моем понимании" можно считать вводными и обособить (ср.: по моему мнению, на мой взгляд).
Такая постановка знаков не противоречит правилам, но с точки зрения смысла она неудачна. Логичнее будет объединить первую и вторую части в перечислительную конструкцию, так как в обеих речь идет о физическом состоянии субъекта, названного словом другие, а третью отделить двоеточием как сообщение о причине этого состояния: У других сил прыгать не было, болели колени и спина: они ходили на силовую.
Брезгать – общеупотребительный вариант, брезговать – разговорный.
