Верно только: дровенки.
Оба варианта возможны.
Корректно: Отчет о результатах проведенной проверки.
Корректно: предписание о проведении проверки.
Причастный оборот инициированной Вашим обращением, следующий после определяемого слова проверки, нужно выделить запятыми: В ходе проверки, инициированной Вашим обращением, установлено, что...
Нет, не нужно.
Аббревиатура ГАИ (и пришедшая ей на смену ГИБДД) женского рода: ГАИ провела проверки.