Словарной фиксации нет. Преобладает написание со строчной буквы, этой тенденции и нужно следовать.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Корректно: (когда?) в данный момент, на данный момент.
Нет, это не омонимы. В сочетании красный командир прилагательное изменило свое значение.
Оба варианта правильны.