Досочка, досточка, дощечка - это маленькая доска.
Слово существует, и даже употребляется :) Если же говорить о его стилевой характеристике, то можно считать слово "простонародным". Или "просто народным".
Правильно: кошечка. Но если нужно употребить именно указанный вариант, то верное написание: кошонка.
А Вам как больше нравится?
Да, так.