Все варианты правильны. Ногти можно и остричь, и постричь, и подстричь.
См. «Непростые слова».
Корректен вариант с родительным падежом.
Воспользуйтесь ресурсом «Проверка слова».
Верно: чтобы достичь всех 180 целей.
Постричь - сделать кому-либо стрижку (например: постричь мальчика).
Подстричь - подрезать ножницами или машинкой, подравнивая, укорачивая, напр.: подстричь деревья, подстричь ногти. // Обрезая и подравнивая, укоротить кому-л. волосы, напр.: подстричь детей. Эти глаголы частично синонимичны.
См. здесь.
Правильно: достичь цели.
Оба варианта возможны.