Чтобы ответить Вам, мы должны знать, где имя, а где фамилия в этом сочетании слов.
Это разговорное слово нужно заключать в кавычки, если необходимо подчеркнуть его стилистическую чуждость контексту, в который оно помещено. Также кавычки могут показать читателю, что это слово не из лексикона автора, что это заимствование из чужой (например, детской) речи. Ср.:
Побегать с друзьями, посмотреть телевизор, а домашка ― дело десятое, ― рассказывал в 2000 году его отец, Андрей Мстиславович.
В идеале, ученик должен понимать, по какой схеме будет выполняться «домашка», чтобы не тратить время на выяснение принципа подготовки к следующему уроку.
Верно: коза ностра.
Запятая не требуется (оборот с как имеет значение 'в качестве' и не обособляется).
В «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко зафиксировано: Дмитрий Козак, Дмитрия Козака. Т. е. ударение при склонении переходит на окончание.