Добавим, как только найдется более или менее обоснованная версия происхождения этого выражения. Пока что все больше домыслы.
Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
См. ответ на вопрос № 274748.
Запятая нужна.
Общеупотребительно: внутрь. Вариант вовнутрь разговорный (это слово пишется слитно).
Правильно: пойти за молоком.
Оба варианта отвечают литературной норме.