Словарной рекомендации нет, однако логичным выглядит слитное написание.
Общеупотребительный, стилистически нейтральный вариант – похудение. Вариант похудание просторечно-разговорный.
Все варианты возможны. Сочетание спорт или диета можно рассматривать как однородный ряд, а местоимение что — как обобщающее слово при нем; это же сочетание можно оформить и как пояснительную конструкцию, с помощью запятой или тире.