Лучше: дирекция по обеспечению.
Да, можно. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно: Государственное казенное учреждение «Дирекция по строительству...». Название в кавычках не склоняется: в Государственном казенном учреждении «Дирекция по строительству...».
Без более широкого контекста ответить на Ваш вопрос, увы, невозможно.
Лучше: в жанре детектива, в детективном жанре.
Общелитературная норма обязывает употреблять определение в форме мужского рода: наш влюбленный детектив. Согласование по смыслу возможно в разговорной речи: наша влюбленная детектив Иванова.
Правильно: ГКУ «Дирекция...» рассмотрело и ГКУ «Дирекция...» рассмотрено.
Правильно: отдел закупок и логистики, отдел логистики.