Стилистически нейтральная форма: высылаем двадцать три дипломата. В разговорной речи допустимо: высылаем двадцать трех дипломатов.

В сочетаниях с числительным (в так называемой счетной форме) возможно: килограмм и килограммов: двадцать килограмм и двадцать килограммов. Вне таких сочетаний – только килограммов, например: заниматься подсчетом килограммов.

Верно: двадцать одно образовательное учреждение.

Корректно: целых двадцать один год.

Верно: освободить двадцать четыре заложника.

В зависимости от контекста требуется разное написание. О времени: шестнадцать двадцать (шестнадцать часов двадцать минут). О счете в спортивной игре: шестнадцать - двадцать. При перечислении: шестнадцать, двадцать.

Если это предложение целиком, то верно: Москва, двадцать первое января.

Если имеется в виду "одну минуту двадцать секунд", то верно: Ролик идет минуту двадцать.

Числительное двадцать два не согласуется со словом сутки в именительном падеже.