Эта фамилия склоняется так же, как название страны (за исключением формы винительного падежа): Китая, Китаю, Китая, Китаем, о Китае.
Запятая нужна.
Ваш вариант расстановки знаков препинания корректен.
Верно: предоставить отпуск Будаю.
Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.
Фамилия должна склоняться. Правило см. в «Письмовнике» (пункт 13.1.11).