Кавычки не нужны.
Корректно без кавычек: рудник Березитовый.
Без кавычек (как со словом рудник, так и без него).
В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Верно: органы грудной и брюшной полости.
Запятая не нужна.
Запятая не ставится.