Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Корректно: политологи ломают голову.
Здесь предпочтительно: у меня болели горло и голова.
Ударение можно проверить в окне «Искать на Грамоте» (набрав кружиться).
Громко кивнуть вряд ли получится, но можно что-то говорить и при этом кивнуть головой.
Корректно: Распоряжение о приеме А. А. Гореловой на социальное обслуживание.
Требуется согласование по смыслу. Голов много? Тогда: они приподняли головы.