Корректно без кавычек.
Словари дают разные рекомендации: в одних это слово фиксируется как слово муж. рода, в других — как ср. рода, в третьих — как муж. и ср. Поэтому возможны оба варианта: горячее татами и горячий татами.
В значении "срочный" – горящий тур, горящая путевка. Кавычки не требуются.
Корректно слитное написание.
Как и раньше: горячий кофе – предпочтительный вариант, отвечающий строгой литературной норме, горячее кофе – вариант, допустимый в непринужденной разговорной речи.
Кавычки не нужны.
В значении «срочный» – горящий тур. Кавычки не требуются.