Корректно написание в кавычках: Муниципальное образование «Город-курорт Геленджик». Постановка кавычек объясняется наличием родового именования муниципальное образование, при его отсутствии кавычки, разумеется, не нужны: город-курорт Геленджик.
Правильно: Геленджик. При склонении этого названия ударение переходит на окончание: из Геленджика, в Геленджике.
Правильно: в Геленджике. В канцелярской речи: в городе Геленджике.
Грамматически верно: УВД по городу Геленджику.