Сочетания корректны с точки зрения норм русской грамматики, но различаются стилистически. Первый вариант — общеупотребительный, широко распространенный. Второй вариант используется в официально-деловой речи (в документах форма именительного падежа наименований отвечает требованиям точности).
Правильно: Геленджик. При склонении этого названия ударение переходит на окончание: из Геленджика, в Геленджике.
Корректно без двоеточия.
Грамматически верно: УВД по городу Геленджику.
Лучше всего написать так: уважаемые жители Новороссийска, Анапы, Геленджика.
Корректно написание в кавычках: Муниципальное образование «Город-курорт Геленджик». Постановка кавычек объясняется наличием родового именования муниципальное образование, при его отсутствии кавычки, разумеется, не нужны: город-курорт Геленджик.
Правильно: в Геленджике. В канцелярской речи: в городе Геленджике.
Правильно склонять: в городе Геленджике, города Геленджика.