Аббревиатура ГАИ (и пришедшая ей на смену ГИБДД) женского рода: ГАИ провела проверки.
Верно: на Халкидики (это несклоняемое название)
Да, нужно.
Корректно: плата за газ, оплата газа.
Первичное значение слова гад – 'грязный, мерзкий, скверный' (праславянское *gadъ 'отвратительное животное'), это слово восходит к древней индоевропейской основе и имеет соответствия в других индоевропейских языках, ср. голландское kwaad 'дурной, скверный', немецкое Kot 'грязь, нечистоты' и т. д.